Structurer. Décomposer. Transformer.
“`htmlStructurer.
Décomposer. Transformer.
L’algèbre linéaire fournit un langage universel pour décrire les espaces, les directions, les transformations et les systèmes linéaires. En CPGE, elle devient centrale dès qu’apparaissent bases, dimension, applications linéaires, noyaux, images et rang.
Le cadre de l’algèbre linéaire.
Principe
Un espace vectoriel contient des objets que l’on peut additionner et multiplier par des scalaires.
λu ∈ E
Exemples
- ℝ² ;
- ℝ³ ;
- ℝⁿ ;
- ensemble des polynômes ;
- ensemble de certaines fonctions ;
- ensemble des matrices de taille donnée.
Vecteur nul
Il est neutre pour l’addition.
Combinaison linéaire
C’est l’une des notions les plus importantes du chapitre.
Reconnaître une structure stable.
Définition pratique
Une partie F de E est un sous-espace vectoriel si elle contient le vecteur nul et reste stable par combinaison linéaire.
Critère utile
Pour tous u,v ∈ F et λ,μ scalaires :
Exemple
Dans ℝ³ :
est un sous-espace vectoriel.
Piège classique
Libre, génératrice ou base ?
Famille libre
Une famille (u₁,…,uₚ) est libre si :
implique :
Famille liée
Elle est liée lorsqu’il existe une relation linéaire non triviale entre ses vecteurs.
Famille génératrice
Elle engendre E lorsque tout vecteur de E peut s’écrire comme combinaison linéaire de ses éléments.
Base
Dans une base, tout vecteur possède des coordonnées uniques.
La méthode CPGE.
Six réflexes pour organiser un problème d’algèbre linéaire.
Mesurer le nombre de directions indépendantes.
Définition
Dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases possèdent le même nombre d’éléments.
Exemples
dim(ℝ³)=3
dim(ℝⁿ)=n
Famille libre
Dans un espace de dimension n, toute famille libre possède au plus n vecteurs.
Famille génératrice
Dans un espace de dimension n, toute famille génératrice possède au moins n vecteurs.
Transformer sans casser la structure.
Définition
Une application f:E→F est linéaire si :
Conséquence immédiate
Image
L’image est un sous-espace vectoriel de F.
Noyau
Le noyau est un sous-espace vectoriel de E.
Lire les propriétés dans le noyau et l’image.
Injectivité
Pour une application linéaire :
Surjectivité
Bijectivité
f est bijective lorsqu’elle est à la fois injective et surjective.
Isomorphisme
Une application linéaire bijective entre deux espaces vectoriels est un isomorphisme.
Relier noyau, image et dimension.
Si E est de dimension finie et f:E→F est linéaire :
On appelle :
Injectivité
Si Ker(f)={0}, alors :
Cas même dimension
Pour une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie :
Transformer un vecteur en liste de nombres.
Écriture
Si B=(e₁,…,eₙ) est une base :
Coordonnées
Unicité
Les coordonnées sont uniques parce que la famille B est une base.
Utilité
Les coordonnées préparent naturellement le passage aux matrices.
Construire les bons réflexes.
Exercice 1 — Sous-espace
Dans ℝ³, déterminer si :
est un sous-espace vectoriel.
Exercice 2 — Liberté
Étudier la famille :
v=(0,1,1)
w=(1,1,2)
dans ℝ³.
Exercice 3 — Noyau
On définit f:ℝ³→ℝ² par :
Déterminer Ker(f).
Exercice 4 — Rang
Pour la même application :
déterminer le rang de f en utilisant le théorème du rang.
Mission : comprendre une transformation linéaire.
Mission CPGE
On considère l’application :
Votre mission :
- vérifier que f est linéaire ;
- déterminer Ker(f) ;
- trouver une base du noyau ;
- en déduire dim(Ker f) ;
- calculer rang(f) grâce au théorème du rang ;
- déterminer si f est injective ;
- déterminer si f est surjective.
Le chemin le plus court en concours.
Avant de calculer lourdement, utilisez les dimensions, les inclusions et les résultats structurels.
Diagnostic Algèbre linéaire.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
Voir la structure avant les calculs.
L’algèbre linéaire devient beaucoup plus simple lorsque l’on raisonne en termes de sous-espaces, bases, dimensions, noyaux et images. Les calculs ne viennent qu’ensuite confirmer la structure.