Sommer. Comparer. Conclure
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Comparer. Conclure.
Une série numérique étudie le comportement d’une somme comportant un nombre croissant de termes. En CPGE, l’objectif essentiel est de savoir reconnaître rapidement les séries de référence et choisir le bon critère de convergence.
D’une suite à une série.
Série numérique
À partir d’une suite (uₙ), on considère formellement :
L’étude de la série repose sur ses sommes partielles.
Somme partielle
La série converge lorsque la suite (Sₙ) possède une limite finie.
Somme de la série
Lorsque Sₙ → S :
Condition nécessaire
Si la série Σuₙ converge, alors nécessairement :
La première série de référence.
Forme
La convergence dépend de la valeur absolue de q.
Cas convergent
Lorsque :
la série géométrique converge.
Somme
Pour une série commençant à n=0 :
lorsque |q| < 1.
Réflexe concours
Une famille incontournable.
On considère :
pour n ≥ 1.
Cette série converge si et seulement si :
Exemple convergent
Ici α=2>1.
Série harmonique
Elle diverge malgré le fait que 1/n tende vers 0.
Six réflexes avant tout calcul.
Une série ne se traite pas au hasard. On identifie d’abord sa structure.
Comparer pour décider.
Principe
Si uₙ ≥ 0, les sommes partielles sont croissantes.
La série converge donc exactement lorsque les sommes partielles sont majorées.
Comparaison directe
Si :
et si Σvₙ converge, alors Σuₙ converge.
Comparaison pour divergence
Si :
et si Σvₙ diverge, alors Σuₙ diverge.
Équivalence
Pour deux suites positives :
les séries Σuₙ et Σvₙ sont de même nature.
Identifier le terme dominant.
Exemple-type
Lorsque n devient grand :
On compare alors avec une série de Riemann.
Fonctions logarithmiques
Des termes comme :
peuvent être étudiés grâce aux équivalents usuels.
Développements limités
Un DL permet souvent d’identifier précisément le premier terme non nul de uₙ.
Piège
Quand les signes changent.
Forme typique
avec aₙ ≥ 0.
Critère classique
Si aₙ est décroissante à partir d’un certain rang et :
alors la série alternée converge.
Reste
Dans le cadre du critère des séries alternées, le reste peut être contrôlé par le premier terme négligé.
Utilité
Cette estimation permet de contrôler rapidement la précision d’une approximation par somme partielle.
Étudier d’abord les valeurs absolues.
Définition
La série Σuₙ est absolument convergente lorsque :
converge.
Résultat fondamental
Attention
La réciproque est fausse en général.
Certaines séries convergent sans converger absolument.
Exemple classique
La série alternée peut converger alors que la série des valeurs absolues est harmonique.
Mesurer ce qu’il reste à sommer.
Définition
Pour une série convergente :
Relation
Pourquoi l’estimer ?
Parce qu’en calcul numérique on ne peut généralement sommer qu’un nombre fini de termes.
Objectif
permet de garantir une précision ε.
Reconnaître avant de calculer.
Exercice 1 — Condition nécessaire
Étudier la possibilité de convergence de :
Exercice 2 — Riemann
Étudier la nature de :
Exercice 3 — Équivalent
Étudier :
Exercice 4 — Logarithme
Étudier la série de terme général :
Exercice 5 — Série alternée
Étudier :
Puis déterminer comment contrôler l’erreur lorsque la série est approchée par une somme partielle.
Mission : la série télescopique.
Mission CPGE
On considère :
et la série :
Votre mission :
- décomposer uₙ en éléments simples ;
- calculer la somme partielle Sₙ ;
- observer les compensations ;
- étudier la convergence ;
- déterminer une expression du reste ;
- en déduire une estimation de l’erreur après N termes.
Quelle stratégie face à une série inconnue ?
Le jour du concours, la priorité est d’identifier rapidement la famille asymptotique du terme général.
Diagnostic Séries CPGE.
Le score est calculé sans afficher les réponses correctes ni la correction détaillée.
Une série se reconnaît avant de se calcule.
Le réflexe CPGE consiste à identifier le comportement du terme général, le rapprocher d’une série de référence, choisir le critère approprié et rédiger une conclusion rigoureuse.