Projeter. Décomposer. Changer de repère.
“`htmlProjeter.
Décomposer. Changer de repère.
Après le noyau, l’image et le rang, on approfondit les endomorphismes, les projections, les symétries, les sous-espaces supplémentaires et les changements de base. Ce chapitre prépare directement le calcul matriciel et la réduction des endomorphismes.
Transformer un espace en lui-même.
Définition
Un endomorphisme de E est une application linéaire :
Exemples
- rotation ;
- projection ;
- symétrie ;
- dérivation sur un espace de polynômes ;
- multiplication par un scalaire.
Itération
Plus généralement :
Identité
Elle joue le rôle de l’élément neutre pour la composition.
Projeter sur un sous-espace.
Caractérisation
Un endomorphisme p est un projecteur si :
Image
Les vecteurs appartenant à Im(p) sont laissés invariants :
Noyau
Les vecteurs de Ker(p) sont envoyés sur 0.
Décomposition
Tout vecteur se décompose de manière unique en somme d’un vecteur projeté et d’un vecteur du noyau.
Retourner une composante, conserver l’autre.
Caractérisation
Une symétrie linéaire s vérifie :
Sous-espace invariant
Sur une partie de l’espace :
Direction renversée
Sur le sous-espace complémentaire :
Lien avec un projecteur
À un projecteur p, on peut associer une symétrie :
Six réflexes.
Tester la structure avant d’effectuer des calculs lourds.
Décomposer un espace de manière unique.
Somme de sous-espaces
Si F et G sont deux sous-espaces de E :
Somme directe
signifie que toute décomposition x=u+v est unique.
Critère
lorsque l’on sait déjà que E=F+G.
Supplémentaires
F et G sont supplémentaires dans E lorsque :
Décomposer puis sélectionner.
Supposons :
Tout x∈E s’écrit de manière unique :
avec u∈F et v∈G.
Le projecteur sur F parallèlement à G est défini par :
Image
Noyau
Quand une transformation préserve une partie de l’espace.
Définition
Un sous-espace F est stable par f si :
Pourquoi c’est utile ?
La stabilité permet d’étudier séparément l’action de f sur certaines parties de E.
Restriction
Si F est stable :
est alors un endomorphisme de F.
Préparation à la réduction
Le vecteur reste le même, ses coordonnées changent.
Deux bases
Soient :
B’=(e’₁,…,e’ₙ)
deux bases d’un même espace E.
Coordonnées
Un même vecteur x possède des coordonnées différentes :
[x]B’
Idée essentielle
Changer de base ne change pas le vecteur géométrique ou abstrait ; seule sa représentation numérique change.
Pourquoi changer de base ?
- simplifier une application ;
- adapter les coordonnées à un problème ;
- faire apparaître une structure ;
- préparer une diagonalisation.
Encoder une transformation linéaire.
Principe
Une application linéaire est entièrement déterminée par l’image des vecteurs d’une base.
Base B
Si :
alors connaître :
suffit à connaître f.
Colonnes
Les coordonnées des vecteurs f(eⱼ) deviennent les colonnes de la matrice de f.
Transition
Identifier la structure cachée.
Exercice 1 — Projecteur
Soit p un endomorphisme tel que :
Montrer que tout vecteur x peut s’écrire :
puis identifier à quels sous-espaces appartiennent les deux termes.
Exercice 2 — Symétrie
Soit s un endomorphisme vérifiant :
Étudier les sous-espaces :
G={x | s(x)=-x}
Exercice 3 — Somme directe
Dans ℝ³, on considère :
G={(0,0,z)}
Montrer que :
Exercice 4 — Sous-espace stable
On considère :
Étudier la stabilité des sous-espaces :
G={(0,y,z)}
Mission : décomposer un endomorphisme.
Mission CPGE
On considère l’endomorphisme p de ℝ³ défini par :
Votre mission :
- vérifier que p est linéaire ;
- calculer p² ;
- en déduire la nature de p ;
- déterminer Im(p) ;
- déterminer Ker(p) ;
- montrer que ℝ³ est somme directe de ces deux sous-espaces ;
- interpréter géométriquement p.
Lire un endomorphisme comme une architecture.
Les égalités simples sur f permettent souvent de reconnaître immédiatement sa nature.
Diagnostic Applications linéaires avancées.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
Choisir une bonne base peut transformer tout le problème.
Les endomorphismes ne sont pas seulement des formules : ils possèdent une architecture faite de noyaux, images, sous-espaces stables et décompositions. Une base adaptée permet souvent de rendre cette architecture visible.