Penser juste avant de calculer
“`htmlCOURS 01 • LOGIQUE & RAISONNEMENT
Penser juste
avant de calculer.
La logique est le langage caché de toutes les mathématiques. Ce cours apprend à comprendre une proposition, manipuler les quantificateurs, raisonner par implication, équivalence, contradiction et contraposée, puis rédiger une démonstration propre.
Propositions, vérité et implication.
Une démonstration mathématique commence toujours par une structure logique claire.
Proposition
Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité : vrai ou faux.
Négation
La négation de P, notée ¬P, signifie que P est fausse.
¬P : x ≤ 3
Implication
L’implication P ⇒ Q signifie : si P est vraie, alors Q doit être vraie.
Attention : une implication n’est pas automatiquement une équivalence.
Équivalence
P ⇔ Q signifie que P implique Q et que Q implique P.
“Pour tout” et “Il existe”.
Quantificateur universel
Cela signifie que la propriété P est vraie pour tous les éléments de E.
Pour réfuter une telle proposition, il suffit de trouver un contre-exemple.
Quantificateur existentiel
Cela signifie qu’au moins un élément de E vérifie la propriété.
Négation de “pour tout”
Dire qu’une propriété n’est pas vraie partout signifie qu’il existe au moins un contre-exemple.
Négation de “il existe”
Dire qu’aucun élément ne vérifie P signifie que tous les éléments vérifient sa négation.
Quatre armes essentielles.
Le bon raisonnement dépend de la structure logique du problème.
Lire la forme avant de chercher le calcul.
Raisonnement direct
On part des hypothèses et on progresse jusqu’à la conclusion.
Contraposée
Pour démontrer P ⇒ Q, on peut démontrer :
La contraposée est logiquement équivalente à l’implication initiale.
Raisonnement par contradiction
On suppose la conclusion fausse, puis on montre que cette hypothèse conduit à une impossibilité.
Contre-exemple
Pour montrer qu’une proposition universelle est fausse, un seul contre-exemple suffit.
Passer de la logique à la démonstration.
Exercice 1 — Négation
Donner la négation de la proposition suivante :
Pour tout réel x, x² ≥ 0.
Exercice 2 — Implication
Montrer que si n² est impair, alors n est impair.
Exercice 3 — Contradiction
Montrer qu’il n’existe pas de plus grand entier naturel.
Exercice 4 — Quantificateurs
Comparer logiquement les deux propositions :
B : ∃y, ∀x, P(x,y)
Sont-elles équivalentes ? Justifier rigoureusement.
Mission : démonstration propre.
Travaillez comme en Prépa : comprendre, choisir la méthode, rédiger.
Mission
Soient a et b deux réels tels que :
Montrer qu’au moins l’un des deux nombres a ou b est strictement supérieur à 5.
Testez votre logique.
Le score apparaît, mais les réponses correctes restent masquées.
La rigueur commence ici.
Avant les matrices, les intégrales ou les probabilités, un étudiant de Prépa doit savoir exactement ce qu’il suppose, ce qu’il veut démontrer et pourquoi chaque étape est valide.