Oscillateurs CPGE.
“`html id=”mza-oscillateurs-cpge”Osciller.
Amortir. Résonner.
Les oscillateurs apparaissent partout : ressorts, pendules, circuits électriques, structures mécaniques, acoustique et systèmes de contrôle. Ce chapitre construit les réflexes essentiels autour de l’oscillateur harmonique, de l’amortissement et du forçage sinusoïdal.
Le modèle universel des petites oscillations.
Un oscillateur harmonique vérifie une équation de la forme :
où ω₀ est la pulsation propre.
Amplitude, pulsation et phase.
Forme cosinus
Forme sinus-cosinus
Amplitude
A représente l’amplitude maximale du déplacement.
Phase initiale
φ dépend des conditions initiales x(0) et ẋ(0).
Le prototype mécanique.
Une masse m reliée à un ressort de raideur k, sans frottement :
Reconnaître avant de résoudre.
Les trois grandeurs oscillent avec des déphasages.
Échange permanent entre cinétique et potentiel.
Énergie cinétique
Énergie potentielle élastique
Énergie mécanique
Sans dissipation
Oscillateur harmonique aux petits angles.
Pour un pendule de longueur ℓ :
Pour les petites oscillations :
Introduire une dissipation.
Avec une force de frottement visqueux :
Sous-amorti, critique, sur-amorti.
Régime pseudo-périodique
Si λ<ω₀, le système oscille avec une amplitude décroissante.
Régime critique
Si λ=ω₀, retour rapide sans oscillation.
Régime apériodique
Si λ>ω₀, retour sans oscillation, plus lent.
Mesurer la faiblesse de l’amortissement.
Pour un oscillateur mécanique visqueux :
Plus Q est élevé, plus l’amortissement est faible.
Exciter le système de l’extérieur.
Avec une force sinusoïdale :
Après disparition du régime transitoire, le système adopte un régime sinusoïdal forcé à la pulsation imposée ω.
Dépendance avec la fréquence d’excitation.
L’amplitude peut devenir importante lorsque ω se rapproche de la pulsation propre dans un système faiblement amorti.
Quand l’excitation rencontre le système.
Principe
Un oscillateur forcé peut présenter une amplitude maximale pour une pulsation proche de sa pulsation propre.
Faible amortissement
La résonance est plus marquée lorsque Q est élevé.
Applications
Ponts, bâtiments, moteurs, suspensions, circuits RLC, instruments de musique.
Risque
Une résonance mal maîtrisée peut produire des amplitudes destructrices.
Deux dynamiques superposées.
La solution générale d’un oscillateur forcé comprend :
Le régime transitoire dépend des conditions initiales et disparaît progressivement si le système est dissipatif.
Le régime permanent dépend principalement du forçage.
Réponse en retard sur l’excitation.
En régime sinusoïdal forcé :
Le déphasage φ dépend de ω, k, m et b.
Identifier le régime avant de calculer.
Exercice 1 — Ressort idéal
Une masse m est attachée à un ressort de raideur k. Déterminer la pulsation propre et la période.
Exercice 2 — Conditions initiales
On donne :
Déterminer la solution de l’oscillateur harmonique.
Exercice 3 — Amortissement
Un oscillateur vérifie :
Identifier ω₀, λ et le type de régime.
Exercice 4 — Résonance
Un oscillateur faiblement amorti est soumis à une excitation sinusoïdale. Expliquez qualitativement comment évolue l’amplitude lorsque la fréquence d’excitation augmente depuis zéro.
Mission : suspension automobile.
Situation
On modélise verticalement une partie d’une voiture par une masse m, un ressort de raideur k et un amortisseur visqueux de coefficient b. La route impose une excitation périodique.
Votre mission :
- identifier la position d’équilibre ;
- écrire l’équation du mouvement autour de l’équilibre ;
- déterminer ω₀ ;
- identifier λ et le facteur de qualité Q ;
- déterminer si le système est sous-amorti ;
- introduire une excitation sinusoïdale représentant les irrégularités de la route ;
- expliquer l’origine d’une éventuelle résonance ;
- discuter qualitativement l’effet d’une augmentation de b ;
- expliquer le compromis entre confort et tenue de route.
Les six réflexes essentiels.
Diagnostic Oscillateurs CPGE.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
L’oscillateur est l’un des modèles les plus universels de la physique.
Comprendre pulsation propre, énergie, amortissement, forçage et résonance prépare directement l’étude des circuits RLC, des ondes, des vibrations mécaniques et de nombreux systèmes physiques réels.