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Observer. Encadrer. Faire converger

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COURS 04 • SUITES NUMÉRIQUES

Observer.
Encadrer. Faire converger.

Les suites numériques sont un terrain privilégié pour apprendre la rigueur : étudier une variation, construire un encadrement, exploiter une relation de récurrence et justifier correctement le passage à la limite.

📚 COMMENCER LE COURS 🧩 EXERCICES ❓ QCM
1. DÉFINITION

Une suite est une fonction sur les entiers.

Suite numérique

Une suite réelle est une application définie sur une partie de ℕ et à valeurs dans ℝ.

u : ℕ → ℝ
n ↦ uₙ

Suite explicite

Le terme général est donné directement en fonction de n.

uₙ = 2n + 1

Suite récurrente

Un terme est défini à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

u₀ = 1
uₙ₊₁ = f(uₙ)

Première règle CPGE

Avant toute étude d’une suite récurrente, vérifier qu’elle est bien définie.

Il faut notamment s’assurer que les termes restent dans le domaine de définition de la fonction utilisée.
2. MONOTONIE

Étudier le sens de variation.

Suite croissante

∀n, uₙ₊₁ ≥ uₙ

Elle est strictement croissante si l’inégalité est stricte.

Suite décroissante

∀n, uₙ₊₁ ≤ uₙ

Méthode par différence

Étudier le signe de uₙ₊₁ – uₙ

C’est souvent la méthode la plus directe.

Méthode par quotient

Pour une suite strictement positive, on peut parfois étudier :

uₙ₊₁ / uₙ

et comparer ce quotient à 1.

3. BORNES

Majorée, minorée, bornée.

Majorée

∃M ∈ ℝ, ∀n, uₙ ≤ M

Minorée

∃m ∈ ℝ, ∀n, uₙ ≥ m

Bornée

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

∃C > 0, ∀n, |uₙ| ≤ C

Pourquoi chercher des bornes ?

Parce qu’une suite monotone et correctement bornée possède une limite finie.

En Prépa, “monotone + bornée” doit devenir un réflexe.
4. MÉTHODE CONVERGENCE

Six étapes à automatiser.

01BIEN DÉFINIE
02TROUVER UNE BORNE
03PROUVER PAR RÉCURRENCE
04ÉTUDIER LA MONOTONIE
05CONCLURE CONVERGENCE
06IDENTIFIER LA LIMITE
5. THÉORÈMES DE CONVERGENCE

Les résultats qu’il faut savoir mobiliser.

Théorème monotone

Toute suite croissante et majorée converge.

Toute suite décroissante et minorée converge.

Théorème des gendarmes

Si :

aₙ ≤ uₙ ≤ bₙ

et si aₙ et bₙ ont la même limite L, alors uₙ converge vers L.

Suite géométrique

uₙ = aqⁿ

Si |q| < 1, alors qⁿ → 0.

Passage à la limite

Si uₙ → ℓ et si f est continue en ℓ, alors :

f(uₙ) → f(ℓ)
On ne doit jamais “chercher la limite” avant d’avoir justifié qu’elle existe, sauf pour obtenir des candidats.
6. SUITES RÉCURRENTES

Comprendre la dynamique uₙ₊₁ = f(uₙ).

Intervalle stable

On cherche un intervalle I tel que :

x ∈ I ⇒ f(x) ∈ I

Puis on montre par récurrence que tous les termes restent dans I.

Point fixe

Si uₙ converge vers ℓ et si f est continue :

ℓ = f(ℓ)

La limite éventuelle est donc un point fixe de f.

Attention

Résoudre ℓ = f(ℓ) ne suffit pas à prouver que la suite converge.

Cela donne uniquement des valeurs possibles de la limite.

Fonction auxiliaire

Pour étudier la monotonie, on peut examiner :

f(x)-x

sur l’intervalle dans lequel évolue la suite.

7. SUITES ADJACENTES

Deux suites qui se rapprochent.

Principe

Deux suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante, et si leur différence tend vers 0.

uₙ croissante
vₙ décroissante
vₙ – uₙ → 0

Conclusion

Deux suites adjacentes convergent vers une même limite.

8. EXERCICES PROGRESSIFS

Construire les réflexes de convergence.

NIVEAU 1

Exercice 1 — Monotonie

Étudier le sens de variation de :

uₙ = 3n + 2
Calculez uₙ₊₁ – uₙ.
NIVEAU 2

Exercice 2 — Suite géométrique

Déterminer la limite de :

uₙ = 5 × (1/3)ⁿ
Regardez la valeur absolue de la raison.
NIVEAU 3

Exercice 3 — Encadrement

Soit :

uₙ = sin(n) / n

Montrer que uₙ converge.

Utilisez -1 ≤ sin(n) ≤ 1 puis divisez par n > 0.
NIVEAU PRÉPA

Exercice 4 — Récurrence

On considère :

u₀ = 1
uₙ₊₁ = √(2 + uₙ)

Montrer que la suite converge et déterminer sa limite.

Montrez d’abord que 1 ≤ uₙ ≤ 2, puis étudiez le signe de uₙ₊₁-uₙ.
9. PROBLEM LAB

Mission : suite définie par moyenne.

Mission Prépa

On définit :

u₀ > 0
uₙ₊₁ = 1/2 (uₙ + 2/uₙ)

Étudier cette suite et comprendre pourquoi elle constitue une méthode d’approximation de √2.

Comparez uₙ₊₁ à √2 puis étudiez uₙ₊₁-uₙ.
Une stratégie consiste à montrer qu’à partir d’un certain rang la suite reste au-dessus de √2, qu’elle devient décroissante, puis qu’elle est minorée. Une fois la convergence établie, la relation de récurrence permet d’identifier la limite.
10. QCM DE VALIDATION

Testez votre maîtrise des suites.

Le score est affiché sans révéler les bonnes réponses.

1. Toute suite croissante et majorée :
2. Si |q| < 1, alors qⁿ :
3. Pour une suite récurrente uₙ₊₁=f(uₙ), résoudre ℓ=f(ℓ) :
4. Deux suites adjacentes :
5. Pour étudier la monotonie d’une suite, on peut souvent examiner :
📈

Une suite se comprend avant de se calculer.

La bonne stratégie est presque toujours la même : définition, stabilité, bornes, monotonie, convergence, puis seulement identification de la limite.

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