Modélise. Résoudre. Interpréter.
“`htmlModéliser.
Résoudre. Interpréter.
Les équations différentielles décrivent l’évolution d’un système à partir de ses variations. Elles interviennent en mécanique, électricité, thermodynamique, probabilités et modélisation scientifique.
Une inconnue qui est une fonction.
Équation différentielle
Une équation différentielle relie une fonction inconnue y à une ou plusieurs de ses dérivées.
Ordre
L’ordre de l’équation est l’ordre de la dérivée la plus élevée.
est une équation d’ordre 2.
Solution
Une solution est une fonction qui vérifie l’équation sur un intervalle donné.
Condition initiale
Elle permet souvent de sélectionner une solution particulière dans une famille.
Le modèle exponentiel.
Considérons :
La famille de solutions est :
où C est une constante réelle.
Si a > 0
Les solutions non nulles ont une croissance exponentielle en valeur absolue.
Si a < 0
Les solutions tendent vers 0 lorsque x tend vers +∞.
Solution homogène + solution particulière.
Forme
Étape 1
Résoudre l’équation homogène :
Étape 2
Chercher une solution particulière yₚ adaptée à b(x).
Solution générale
Six réflexes.
Identifier avant de résoudre.
Facteur intégrant.
Considérons :
On introduit un facteur intégrant de la forme :
afin de transformer le membre de gauche en dérivée d’un produit.
Utiliser l’équation caractéristique.
Considérons :
On associe l’équation caractéristique :
Deux racines réelles distinctes
Alors :
Racine double
Alors :
Racines complexes
Si :
alors :
Réflexe CPGE
Trouver une solution particulière adaptée.
Second membre polynomial
On essaie généralement un polynôme de degré approprié.
Second membre exponentiel
On tente une solution particulière de forme exponentielle adaptée.
Second membre trigonométrique
On cherche une combinaison de sinus et cosinus.
Résonance
Déterminer les constantes.
Ordre 1
Une condition initiale typique :
Ordre 2
On rencontre généralement deux conditions :
y'(x₀)=v₀
Pourquoi ?
Parce que la solution générale d’une équation d’ordre 2 contient généralement deux constantes.
Interprétation
Les conditions initiales traduisent l’état du système au début de l’étude.
Des mathématiques au réel.
Refroidissement
La vitesse de variation de la température dépend de l’écart avec l’environnement.
Croissance
Modèle élémentaire de croissance exponentielle.
Circuit électrique
Oscillateur
Modèle fondamental des oscillations harmoniques.
Reconnaître le type d’équation.
Exercice 1 — Premier ordre
Résoudre :
Exercice 2 — Condition initiale
Résoudre :
y(0)=5
Exercice 3 — Second ordre
Résoudre :
Exercice 4 — Oscillations
Résoudre :
avec :
y'(0)=0
Mission : refroidissement d’un système.
Mission CPGE
Un objet de température T(t) est placé dans une pièce maintenue à température constante Tₑ. On modélise son évolution par :
Votre mission :
- introduire une nouvelle fonction u(t)=T(t)-Tₑ ;
- obtenir une équation différentielle plus simple ;
- déterminer la forme générale de T(t) ;
- utiliser une température initiale T(0)=T₀ ;
- étudier la limite lorsque t tend vers +∞ ;
- interpréter physiquement cette limite.
Diagnostic Équations différentielles.
Le score est affiché sans montrer les réponses correctes.
Résoudre une évolution, pas seulement une équation.
Une équation différentielle raconte comment un système change. Le bon réflexe consiste à identifier son ordre, sa structure, résoudre l’équation homogène, traiter le second membre, appliquer les conditions puis interpréter la solution.