Compter. Organiser. Choisir
“`htmlCompter.
Organiser. Choisir.
Le dénombrement consiste à compter efficacement sans énumérer. En CPGE, il faut savoir reconnaître immédiatement si l’ordre compte, si les répétitions sont autorisées et si l’on effectue un choix, un arrangement ou une permutation.
Additionner les possibilités exclusives.
Principe
Si une situation peut se produire selon plusieurs cas incompatibles, on additionne les nombres de possibilités.
Exemple
Un élève choisit soit un livre de mathématiques parmi 5, soit un livre de physique parmi 4.
Multiplier les choix successifs.
Principe
Si une procédure comporte plusieurs étapes successives indépendantes, on multiplie le nombre de possibilités de chaque étape.
Exemple
3 chemises et 4 pantalons donnent :
Le moteur des permutations.
Définition
Convention
Exemple
Usage
La factorielle apparaît lorsque l’on ordonne tous les éléments d’un ensemble.
Six questions avant tout calcul.
Ordonner tous les éléments.
Sans répétition
Le nombre de permutations de n éléments distincts est :
Exemple
Le nombre d’ordres possibles de 6 candidats est :
Avec répétitions
Si certains éléments sont identiques :
Exemple classique
Pour les lettres d’un mot comportant plusieurs lettres identiques, il faut corriger les permutations comptées plusieurs fois.
Choisir puis ordonner.
Définition
On choisit p éléments parmi n et l’ordre compte.
Exemple
Former un podium de 3 personnes parmi 10 candidats :
Réflexe
Premier, deuxième et troisième sont des positions différentes : l’ordre compte donc.
Cas p=n
Choisir sans tenir compte de l’ordre.
Définition
Notation
Exemple
Choisir 4 étudiants parmi 12 :
Symétrie
Manipuler les coefficients binomiaux.
Pascal
Somme d’une ligne
Extrémités
Relation utile
Développer une puissance efficacement.
La somme porte sur k allant de 0 à n.
Le piège classique des concours.
Sans répétition
Un élément déjà choisi ne peut plus être repris.
Avec répétition
Un même élément peut être choisi plusieurs fois.
Exemple code PIN
Pour un code de 4 chiffres avec répétition autorisée :
Sans répétition
Si les quatre chiffres doivent être distincts :
Compter ce que l’on ne veut pas.
Pour compter des objets satisfaisant une condition difficile, il est parfois plus simple de compter le total puis de retirer les cas interdits.
Reconnaître la bonne structure.
Exercice 1 — Permutations
De combien de façons peut-on ranger 7 livres distincts sur une étagère ?
Exercice 2 — Combinaison
Une classe compte 20 élèves. Combien peut-on former de groupes de 4 élèves ?
Exercice 3 — Arrangement
Parmi 12 coureurs, combien de podiums distincts peut-on obtenir ?
Exercice 4 — Contrainte
Combien de mots de 6 lettres peut-on former avec 6 lettres distinctes si deux lettres données doivent rester côte à côte ?
Mission : comité avec contraintes.
Mission CPGE
Une association compte 8 femmes et 7 hommes. On souhaite former un comité de 5 personnes.
Étudier successivement le nombre de comités :
- sans aucune contrainte ;
- comportant exactement 3 femmes ;
- comportant au moins une femme ;
- comportant au moins 2 hommes ;
- dans lequel deux personnes données ne peuvent pas siéger ensemble ;
- dans lequel une personne donnée doit obligatoirement être présente.
Ne choisissez pas une formule avant d’avoir compris la situation.
La majorité des erreurs de dénombrement viennent d’un mauvais diagnostic : ordre, répétition, exclusion ou complémentaire.
Diagnostic Dénombrement CPGE.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
Le bon dénombrement commence avant le calcul.
Identifier si l’ordre compte, si les répétitions sont autorisées et si les cas doivent être additionnés ou multipliés permet de résoudre rapidement une grande partie des problèmes de combinatoire.