Calculer. Représenter . Transformer
“`htmlCOURS 03 • NOMBRES COMPLEXES
Calculer.
Représenter. Transformer.
Les nombres complexes relient algèbre, trigonométrie et géométrie. Ce cours construit les méthodes indispensables pour manipuler les formes algébrique, trigonométrique et exponentielle, résoudre des équations et exploiter la géométrie du plan complexe.
Entrer dans le plan complexe.
Définition
Un nombre complexe s’écrit :
où a et b sont réels et i vérifie :
Parties réelle et imaginaire
Im(z)=b
Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire sont égales.
Conjugué
Le conjugué intervient dans les calculs de module, les quotients et certaines symétries.
Module
Géométriquement, le module représente la distance de l’origine au point d’affixe z.
Module et argument.
Écriture polaire
Pour z non nul :
avec :
et θ argument de z.
Argument
Un argument de z est un angle θ permettant de repérer la direction du vecteur associé.
La forme la plus efficace pour multiplier et élever à une puissance.
Formule d’Euler
D’où :
Produit
Les modules se multiplient et les arguments s’additionnent.
Quotient
Les modules se divisent et les arguments se soustraient.
Puissances
C’est la forme idéale pour utiliser la formule de Moivre.
Choisir la bonne forme.
La difficulté n’est pas seulement de calculer, mais de choisir l’écriture la plus efficace.
Résoudre efficacement dans ℂ.
Équation z² = a
Dans ℂ, toute équation polynomiale non constante admet au moins une racine.
Racines n-ièmes
Pour résoudre :
on obtient n solutions réparties régulièrement sur un cercle.
Racines de l’unité
Les solutions sont :
pour k = 0,1,…,n−1.
Interprétation géométrique
Les racines n-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle unité.
Transformer les calculs en géométrie.
Distance
Si A et B ont pour affixes zA et zB :
Angle
permet de mesurer un angle orienté entre deux directions.
Alignement
Des points A, B et C sont alignés lorsque :
Orthogonalité
Deux directions sont perpendiculaires lorsque leur quotient a un argument égal à π/2 modulo π.
Passer du calcul à la stratégie.
Exercice 1 — Forme algébrique
Calculer :
Exercice 2 — Module
Déterminer le module de :
Exercice 3 — Forme exponentielle
Écrire sous forme exponentielle :
Exercice 4 — Racines
Résoudre dans ℂ :
Mission : géométrie complexe.
Mission
On considère trois points A, B et C d’affixes respectives :
zB = 1
zC = i
Montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle en A en utilisant uniquement des outils complexes.
Testez votre maîtrise des complexes.
Le score est affiché sans correction détaillée.
Les complexes deviennent un langage de transformation.
Une fois les différentes formes maîtrisées, les calculs deviennent plus courts, les équations plus naturelles et la géométrie beaucoup plus puissante.