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COURS 06 • DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

Approcher.
Simplifier. Comparer.

Les développements limités permettent de remplacer localement une fonction compliquée par un polynôme simple. Ils sont essentiels pour les limites, les équivalents, l’étude locale des courbes et de nombreux calculs de concours.

📚 COMMENCER 🧠 MÉTHODE 🧩 EXERCICES ❓ QCM
1. PRINCIPE

Remplacer une fonction par un polynôme local.

Développement limité en 0

On cherche une écriture de la forme :

f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+aₙxⁿ+o(xⁿ)

lorsque x tend vers 0.

Petit o

r(x)=o(xⁿ)

signifie que :

r(x)/xⁿ → 0

lorsque x → 0.

Ordre

Un DL à l’ordre n conserve tous les termes jusqu’à xⁿ.

L’ordre à choisir dépend de la précision nécessaire dans le calcul.

DL en un point a

On pose souvent :

h=x-a

puis on développe en h au voisinage de 0.

2. FORMULE DE TAYLOR

Construire les coefficients du DL.

Si f possède suffisamment de dérivées au voisinage de a, alors :

f(x)=f(a) +f'(a)(x-a) +f”(a)/2! · (x-a)² +…+ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ +o((x-a)ⁿ)
En pratique, on apprend surtout les DL usuels et on les combine intelligemment.
3. DL USUELS EN 0

Les formules à connaître.

Exponentielle

eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)

Logarithme

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+o(x³)

Sinus

sin x = x – x³/6 + o(x³)

Cosinus

cos x = 1 – x²/2 + x⁴/24 + o(x⁴)

Inverse

1/(1+x)=1-x+x²-x³+o(x³)

Puissance réelle

(1+x)α =1+αx+α(α-1)x²/2+o(x²)
MZA ASYMPTOTIC ENGINE

La méthode CPGE.

01IDENTIFIER LE POINT
02CHOISIR L’ORDRE
03UTILISER UN DL USUEL
04COMPOSER
05SIMPLIFIER
06CONCLURE
4. OPÉRATIONS SUR LES DL

Addition, produit, quotient, composition.

Somme

On additionne terme à terme les développements jusqu’à l’ordre souhaité.

Produit

On développe puis on conserve uniquement les puissances utiles.

Ne gardez pas des termes d’ordre supérieur à celui demandé.

Quotient

On transforme souvent le dénominateur sous la forme :

1+u(x)

puis on utilise le DL de 1/(1+u).

Composition

Si u(x) → 0, on peut remplacer x par u(x) dans un DL usuel.

eu(x) =1+u(x)+u(x)²/2+…
5. DL & LIMITES

Lever les formes indéterminées.

Exemple-type

Étudier :

(eˣ-1-x)/x²

au voisinage de 0.

Le DL d’eˣ permet d’identifier immédiatement le premier terme non nul du numérateur.

Premier terme non nul

Pour une limite de quotient, le premier terme non nul est souvent celui qui détermine le comportement principal.

Équivalent issu du DL

Si :

f(x)=axᵖ+o(xᵖ), a ≠ 0

alors :

f(x) ~ axᵖ

Ordre suffisant

Il faut parfois développer plus loin lorsque les premiers termes se compensent.

Une compensation complète des premiers termes est un signal : augmentez l’ordre du DL.
6. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Tangente et position locale.

DL d’ordre 1

f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)

Le polynôme de degré 1 correspond à la tangente.

Position par rapport à la tangente

Le signe du premier terme non nul après le terme affine indique localement la position de la courbe.

Exemple structurel

f(a+h)=f(a)+f'(a)h+Ah²+o(h²)

Le signe de A informe sur la position locale de la courbe par rapport à sa tangente.

Courbure

Lorsque f”(a) ≠ 0, le terme quadratique traduit la courbure locale.

7. EXERCICES PROGRESSIFS

Automatiser les calculs asymptotiques.

NIVEAU 1

Exercice 1 — DL de base

Donner le DL à l’ordre 3 en 0 de :

eˣ
Utilisez directement le développement usuel de l’exponentielle.
NIVEAU 2

Exercice 2 — Composition

Donner un DL à l’ordre 4 en 0 de :

cos(x²)
Remplacez la variable du DL de cos par x² et contrôlez l’ordre obtenu.
NIVEAU 3

Exercice 3 — Limite

Étudier :

lim [ln(1+x)-x]/x²
x → 0
Développez ln(1+x) suffisamment loin pour faire apparaître le premier terme restant après la soustraction de x.
NIVEAU PRÉPA

Exercice 4 — Compensation

Étudier :

lim [eˣ + e-x – 2 – x²] / x⁴
x → 0
Les termes impairs vont se compenser. Il faut donc développer jusqu’à l’ordre 4.
8. PROBLEM LAB

Mission : position par rapport à la tangente.

Mission CPGE

On considère :

f(x)=ln(1+x)

au voisinage de 0.

Votre mission :

  1. obtenir un DL à l’ordre 3 ;
  2. identifier la tangente à la courbe en 0 ;
  3. étudier localement la position de la courbe par rapport à cette tangente ;
  4. expliquer le rôle du premier terme non nul après la partie affine.
Commencez par séparer la partie affine du DL et les termes d’ordre supérieur.
Écrivez f(x) – T(x), où T est l’équation affine de la tangente. Le signe du premier terme non nul de cette différence donne la position locale de la courbe.
9. QCM DE VALIDATION

Diagnostic développements limités.

Le score est affiché, mais la correction reste masquée.

1. Un DL à l’ordre n conserve :
2. Au voisinage de 0, eˣ – 1 est équivalent à :
3. Une compensation des premiers termes signifie souvent qu’il faut :
4. Si f(x)=ax²+o(x²), a≠0, alors :
5. Le DL d’ordre 1 en a fournit notamment :
6. Pour composer un DL usuel, il faut en particulier vérifier que :
🔬

Voir l’essentiel derrière une fonction compliquée.

Un développement limité permet d’identifier le comportement dominant, de lever des formes indéterminées et de comprendre localement une courbe avec une grande précision.

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