Accumuler. Transformer. Calculer
“`htmlCOURS 07 • INTÉGRATION
Accumuler.
Transformer. Calculer.
L’intégration est l’un des piliers de l’analyse en CPGE. Elle permet de calculer des aires, des valeurs moyennes, des primitives, mais surtout de transformer des expressions difficiles grâce au changement de variable et à l’intégration par parties.
Remonter de la dérivée vers la fonction.
Définition
Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si :
Famille des primitives
Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives sont :
où C est une constante réelle.
Primitive d’une puissance
pour n ≠ -1.
Cas logarithmique
sur tout intervalle ne contenant pas 0.
Passer de la primitive à l’accumulation.
Théorème fondamental
Si f est continue sur [a,b] et F est une primitive de f :
Orientation
Additivité
C’est la relation de Chasles.
Linéarité
Encadrer sans calculer exactement.
Positivité
Si f(x) ≥ 0 sur [a,b], alors :
Comparaison
Si :
sur [a,b], alors :
Valeur absolue
Encadrement simple
Si m ≤ f(x) ≤ M sur [a,b], alors :
La stratégie en six réflexes.
Transformer l’intégrale.
Principe
On pose :
alors :
Formule
où φ(α)=a et φ(β)=b.
Quand l’utiliser ?
- composition évidente ;
- racine ;
- fonction rationnelle ;
- symétrie ;
- expression trigonométrique.
Réflexe important
Déplacer une dérivée.
Pour deux fonctions suffisamment régulières :
Cas typique
On dérive le facteur polynomial et on primitive l’exponentielle.
Logarithme
On peut considérer ln(x) × 1.
Réduire le calcul grâce à la structure.
Fonction paire
Si f est paire :
Fonction impaire
Si f est impaire :
Transformation x → a+b-x
Elle peut révéler une symétrie cachée dans une intégrale sur [a,b].
Réflexe concours
Quand une borne ou l’intégrande devient problématique.
Borne infinie
On définit par exemple :
A → +∞
Singularité en une borne
Si f devient non bornée au voisinage de a :
t → a⁺
Convergence
L’intégrale impropre converge si la limite définissant l’intégrale existe et est finie.
Intégrale de référence
Sa convergence dépend de la valeur de p.
Choisir la bonne technique.
Exercice 1 — Primitive
Déterminer une primitive de :
Exercice 2 — Changement de variable
Calculer :
Exercice 3 — Intégration par parties
Calculer :
Exercice 4 — Symétrie
On pose :
Cherchez une transformation de variable susceptible de faire apparaître une relation entre deux expressions de I.
Mission : construire une relation de récurrence.
Intégrales de Wallis
Pour n entier naturel, on pose :
Votre mission :
- calculer I₀ et I₁ ;
- utiliser une intégration par parties pour relier Iₙ à Iₙ₋₂ ;
- étudier le comportement de la suite (Iₙ) ;
- comprendre comment cette famille d’intégrales peut servir à obtenir des estimations asymptotiques.
Diagnostic Intégration CPGE.
Le score est affiché sans révéler les bonnes réponses.
Intégrer, c’est reconnaître avant de calculer.
Une intégrale difficile devient souvent simple dès que l’on identifie la bonne structure : primitive directe, symétrie, substitution, intégration par parties ou comparaison.