Mesurer. Décider. Inverser.
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Décider. Inverser.
Le déterminant permet de détecter immédiatement l’inversibilité d’une matrice, mesurer un facteur de volume, tester l’indépendance de vecteurs et simplifier de nombreuses questions d’algèbre linéaire.
Le premier calcul fondamental.
Matrice 2×2
Déterminant
Inversibilité
Interprétation
Si det(A)=0, les colonnes — ou les lignes — sont linéairement dépendantes.
Calculer sans développer inutilement.
Produit
Identité
Inverse
Si A est inversible :
Transposée
Comprendre l’effet sur le déterminant.
Échange de deux lignes
Le déterminant change de signe.
Multiplication d’une ligne
Si une ligne est multipliée par λ :
Ajout d’un multiple d’une ligne
Ajouter à une ligne un multiple d’une autre ne change pas le déterminant.
Deux lignes égales
Six réflexes avant de développer.
Exploiter une ligne ou une colonne simple.
Mineur
On supprime une ligne et une colonne pour obtenir une matrice de taille inférieure.
Cofacteur
Développement selon la ligne i
Stratégie
Le cas le plus rapide.
Pour une matrice triangulaire :
Le déterminant est simplement le produit des coefficients diagonaux.
Tester l’indépendance de vecteurs.
Famille de n vecteurs dans Kⁿ
On place leurs coordonnées en colonnes d’une matrice A.
Critère
équivaut à dire que la famille est une base de Kⁿ.
Si det(A)=0
Les vecteurs sont linéairement dépendants.
Réflexe
Une quantité indépendante du choix de base.
Si f est un endomorphisme de E de dimension finie, son déterminant est le déterminant de n’importe quelle matrice représentant f dans une base.
Cette valeur ne dépend pas de la base choisie.
Injectivité
En dimension finie
Aire, volume et orientation.
Dimension 2
La valeur absolue du déterminant mesure le facteur d’aire induit par la transformation.
Dimension 3
La valeur absolue du déterminant mesure le facteur de volume.
Signe
Le signe du déterminant renseigne sur l’orientation.
Déterminant nul
Une dimension est « écrasée » : l’image est contenue dans un sous-espace de dimension plus petite.
Choisir le calcul le plus efficace.
Exercice 1 — Dimension 2
Calculer :
Exercice 2 — Triangulaire
Calculer :
Exercice 3 — Paramètre
Déterminer les valeurs de λ pour lesquelles la matrice
est inversible.
Exercice 4 — Famille de vecteurs
Étudier si les vecteurs suivants forment une base de ℝ³ :
v=(0,1,1)
w=(1,0,1)
Mission : détecter une valeur critique.
Mission CPGE
On considère :
Votre mission :
- calculer det(A(λ)) ;
- simplifier le calcul par des opérations sur les lignes ;
- déterminer les valeurs de λ pour lesquelles A(λ) n’est pas inversible ;
- interpréter ces valeurs en termes de dépendance linéaire des colonnes ;
- étudier le rang dans les cas particuliers ;
- comparer avec le cas générique.
Ne développez jamais trop tôt.
Un déterminant doit d’abord être simplifié par sa structure et les opérations élémentaires.
Diagnostic Déterminants CPGE.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
Un seul nombre peut révéler toute la structure.
Le déterminant permet de tester l’inversibilité, l’indépendance, le changement de volume et certaines propriétés fondamentales d’un endomorphisme sans résoudre entièrement le problème.