Mécanique des fluides CPGE.
“`htmlPression.
Débit. Écoulement.
La mécanique des fluides relie pression, vitesse, débit, énergie et viscosité. En CPGE, le bon réflexe est de distinguer hydrostatique et écoulement, puis d’enchaîner continuité, Bernoulli, pertes de charge et régime d’écoulement.
Masse volumique, pression, vitesse.
Masse volumique
Unité : kg·m⁻³.
Pression
Unité : pascal.
Champ de vitesse
Il décrit le mouvement local du fluide.
Un fluide au repos.
Pour un fluide incompressible au repos dans un champ de pesanteur uniforme :
Si z est orienté vers le haut :
La pression se transmet dans un fluide au repos.
Une variation de pression imposée à un fluide incompressible au repos se transmet à l’ensemble du fluide dans le modèle idéal.
Application classique : presse hydraulique.
La méthode universelle des problèmes de fluide.
Résultante des forces de pression.
Tout corps immergé subit une poussée verticale vers le haut égale au poids du fluide déplacé :
La poussée s’applique au centre de poussée.
Couler, flotter ou rester en équilibre.
ρcorps > ρfluide
Le corps tend à couler.
ρcorps < ρfluide
Le corps peut flotter partiellement.
Équilibre
Le volume traversant une section par unité de temps.
Pour une vitesse uniforme sur une section S :
Le débit de matière.
Pour un fluide de masse volumique ρ :
Conservation de la masse.
En régime permanent :
Pour un fluide incompressible :
Visualiser l’écoulement.
Une ligne de courant est partout tangente au vecteur vitesse. En régime permanent, les lignes de courant sont fixes dans l’espace.
Le bilan d’énergie mécanique du fluide parfait.
Pour un écoulement stationnaire, incompressible, non visqueux, le long d’une ligne de courant :
Entre deux points :
Pression, vitesse et altitude échangent leurs rôles.
Énergie de pression
Énergie cinétique volumique
Énergie potentielle volumique
Accélération et chute de pression dans un rétrécissement.
Pour un tube horizontal :
Si S₂<S₁, alors v₂>v₁ et donc P₂<P₁ dans le modèle idéal.
Vitesse d’écoulement sous l’effet de la gravité.
Pour un grand réservoir ouvert possédant un petit orifice situé à une profondeur h :
Cette relation résulte directement de Bernoulli sous des hypothèses idéales.
La dissipation interne du fluide.
Pour un fluide newtonien en cisaillement simple :
η est la viscosité dynamique.
Écoulement laminaire dans un tube cylindrique.
Pour un fluide newtonien incompressible en régime laminaire dans un tube de rayon R et longueur L :
Le débit dépend très fortement du rayon : il varie comme R⁴.
Comparer inertie et viscosité.
ou :
avec ν=η/ρ viscosité cinématique.
Le régime d’écoulement dépend de Reynolds.
Faible Reynolds
Les effets visqueux dominent : écoulement ordonné, souvent laminaire.
Grand Reynolds
Les effets inertiels dominent davantage : des instabilités et de la turbulence peuvent apparaître.
Le fluide réel dissipe de l’énergie mécanique.
Une forme pratique du bilan d’énergie peut s’écrire :
Les pertes sont dues notamment aux frottements dans les conduites, aux singularités, coudes, vannes et turbulences.
Ajouter ou extraire de l’énergie.
Pompe
Elle apporte de l’énergie mécanique au fluide.
Turbine
Elle prélève une partie de l’énergie mécanique du fluide.
Continuité d’abord, énergie ensuite.
Exercice 1 — Hydrostatique
Déterminer la différence de pression entre deux points d’un liquide au repos séparés verticalement d’une hauteur h.
Exercice 2 — Continuité
Un tube passe d’une section S1 à une section S2 plus petite. Le fluide est incompressible. Relier v1 et v2.
Exercice 3 — Venturi
Un tube horizontal se rétrécit. Déterminer qualitativement comment évoluent vitesse et pression.
Exercice 4 — Poiseuille
Le rayon d’un tube est doublé, toutes les autres grandeurs restant identiques. Comment évolue le débit laminaire ?
Mission : dimensionner une conduite d’alimentation.
Situation
Un réservoir alimente une installation située plus bas par une conduite de diamètre variable. Le débit demandé est connu et les pertes de charge ne sont pas négligeables.
Votre mission :
- choisir les deux points pertinents pour le bilan ;
- écrire l’équation de continuité ;
- déterminer les vitesses dans chaque section ;
- écrire Bernoulli avec pertes de charge ;
- identifier le rôle de la différence d’altitude ;
- déterminer la pression disponible en sortie ;
- étudier l’effet d’une réduction du diamètre ;
- évaluer qualitativement l’effet de la viscosité ;
- calculer un nombre de Reynolds représentatif ;
- discuter si une pompe est nécessaire.
Les six réflexes des fluides.
Diagnostic Mécanique des fluides CPGE.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
Dans un fluide, pression, vitesse et altitude dialoguent en permanence.
Hydrostatique, continuité, Bernoulli, viscosité et Reynolds permettent de passer du simple liquide au repos aux conduites réelles, aux pompes, aux écoulements industriels et à de nombreuses applications aéronautiques.