Ondes & propagation CPGE.
“`htmlPropager.
Interférer. Résonner.
Les ondes transportent de l’énergie et de l’information sans transport global de matière. Ce chapitre construit les bases indispensables : équation d’onde, célérité, phase, superposition, interférences, ondes stationnaires, dispersion et vitesse de groupe.
Une perturbation qui se propage.
Onde mécanique
Elle nécessite un milieu matériel : corde, son, vague, onde élastique.
Onde électromagnétique
Elle peut se propager dans le vide.
Transport
Une onde peut transporter énergie, information et quantité de mouvement.
Principe
La matière oscille localement tandis que la perturbation se déplace.
Le cœur mathématique de la propagation.
En une dimension, une grandeur s(x,t) peut vérifier :
où c est la célérité de propagation.
Une forme qui se déplace sans se déformer.
Vers +x
Vers -x
Lire une onde en six étapes.
La forme fondamentale.
avec :
Comparer l’état vibratoire de deux points.
Pour une onde progressive sinusoïdale :
La différence de phase entre deux points séparés de Δx vaut :
La même perturbation observée plus tard.
Deux points séparés d’une distance d présentent un retard :
Le signal en B peut donc s’écrire comme le signal en A retardé :
Les ondes linéaires s’additionnent.
Si deux ondes s₁ et s₂ sont présentes :
Ce principe explique interférences, battements et ondes stationnaires.
Renforcer ou annuler une vibration.
Constructives
Les amplitudes se renforcent.
Destructives
Les amplitudes peuvent se compenser.
Relier géométrie et phase.
Si deux ondes cohérentes parcourent des distances différentes :
La différence de phase vaut :
Interférences constructives :
Interférences destructives :
Deux fréquences proches produisent une modulation lente.
Pour deux fréquences f₁ et f₂ proches :
L’amplitude résultante varie lentement tandis que l’oscillation rapide reste voisine de la fréquence moyenne.
Deux ondes opposées créent une structure fixe.
La superposition de deux ondes de même amplitude et même fréquence se propageant en sens opposés peut donner :
La dépendance spatiale et temporelle est alors séparée.
Des points immobiles et des points d’amplitude maximale.
Nœuds
Amplitude nulle.
Ventres
Amplitude maximale.
La quantification des modes propres.
Pour une corde de longueur L fixée en x=0 et x=L :
donc :
avec n entier positif.
Lier mécanique et propagation.
Pour une corde sous tension T et de masse linéique μ :
La célérité augmente avec la tension et diminue lorsque la corde est plus massive par unité de longueur.
Une onde transporte de la puissance.
Pour de nombreux systèmes linéaires, la puissance moyenne transportée est proportionnelle :
À fréquence donnée, doubler l’amplitude multiplie typiquement la puissance moyenne par quatre.
Quand toutes les fréquences ne voyagent pas à la même vitesse.
Un milieu est dispersif lorsque la relation :
n’est pas simplement proportionnelle à k.
La vitesse de phase vaut :
Suivre l’enveloppe d’un paquet d’ondes.
Dans un milieu non dispersif :
Dans un milieu dispersif, les deux vitesses peuvent être différentes.
Phase, célérité, interférences.
Exercice 1 — Longueur d’onde
Une onde de fréquence f se propage à la célérité c. Déterminer λ.
Exercice 2 — Retard
Deux capteurs séparés d’une distance d détectent la même perturbation. Déterminer le retard temporel.
Exercice 3 — Interférences
Deux sources cohérentes produisent au point M une différence de marche δ. Donner la condition d’interférence constructive.
Exercice 4 — Corde vibrante
Une corde de longueur L est fixée aux deux extrémités. Déterminer la fréquence du troisième mode propre.
Mission : corde de guitare.
Situation
Une corde de longueur L, de masse linéique μ, est tendue par une force T. Elle est fixée à ses deux extrémités et excitée afin de produire des modes stationnaires.
Votre mission :
- exprimer la célérité des ondes sur la corde ;
- établir les conditions aux limites ;
- déterminer les longueurs d’onde autorisées ;
- obtenir les fréquences propres ;
- identifier le fondamental ;
- déterminer les trois premiers harmoniques ;
- étudier l’effet d’une augmentation de la tension T ;
- étudier l’effet d’une augmentation de μ ;
- expliquer comment un musicien modifie la fréquence en raccourcissant la longueur vibrante ;
- relier la théorie à la hauteur du son.
Les six réflexes des ondes.
Diagnostic Ondes & propagation CPGE.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
Comprendre une onde, c’est savoir lire simultanément l’espace, le temps et la phase.
Propagation, interférences, modes propres et dispersion forment la base de l’acoustique, de l’optique ondulatoire et des futures ondes électromagnétiques.