Mécanique du solide CPGE.
Tourner.
Momenter. Conserver.
La mécanique du solide complète la dynamique du point matériel en introduisant la rotation, les moments des forces, le moment cinétique, les moments d’inertie et l’énergie cinétique de rotation.
Un ensemble de points dont les distances restent constantes.
Définition
Un solide indéformable est un système pour lequel la distance entre deux points quelconques reste constante au cours du mouvement.
Deux mouvements fondamentaux
Translation et rotation constituent les deux situations élémentaires à maîtriser.
Suivre le mouvement global du solide.
Le centre d’inertie G d’un système de points matériels vérifie :
avec :
La dynamique du centre d’inertie obéit à :
Décrire la cinématique angulaire.
Angle
Vitesse angulaire
Accélération angulaire
Vitesse d’un point
La méthode solide en six étapes.
Mesurer l’effet rotatoire d’une force.
Le moment d’une force F par rapport à un point O vaut :
Sa norme vaut :
où θ est l’angle entre OM et F.
Projeter le moment dans la direction utile.
Pour un axe Δ de vecteur unitaire uΔ :
Cette grandeur scalaire est particulièrement utile pour les rotations autour d’un axe fixe.
Créer une rotation sans résultante de force.
Un couple est constitué de deux forces opposées de résultante nulle mais de moment total non nul.
Exemple : action d’un moteur sur un arbre de rotation.
L’équivalent rotatoire de la quantité de mouvement.
Pour un point matériel :
Pour un solide tournant autour d’un axe fixe :
Mesurer la résistance à la mise en rotation.
Pour un ensemble discret :
Pour une distribution continue :
Plus la masse est éloignée de l’axe, plus le moment d’inertie est grand.
Quelques résultats utiles.
Point matériel
Anneau mince
Disque homogène
Sphère pleine
Tige — axe central perpendiculaire
Tige — axe par une extrémité
Déplacer l’axe de rotation.
Si Δ est parallèle à un axe passant par le centre d’inertie G :
où d est la distance entre les deux axes.
La loi fondamentale de la rotation.
Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe Δ, avec J constant :
Quand le moment extérieur total est nul.
Exemples : patineur qui rapproche les bras, corps célestes, gyroscopes dans certaines configurations.
La version rotatoire de ½mv².
Pour un solide possédant translation et rotation :
Transfert d’énergie en rotation.
et le travail élémentaire vaut :
Lier translation et rotation.
Pour une roue de rayon R roulant sans glisser :
La condition de roulement impose une contrainte cinématique entre vitesse de translation et vitesse de rotation.
Passer des forces aux moments.
Exercice 1 — Disque en rotation
Un disque homogène de masse M et de rayon R tourne à la vitesse angulaire ω. Calculer son énergie cinétique de rotation.
Exercice 2 — Couple moteur
Un moteur exerce un couple constant C sur un volant de moment d’inertie J initialement au repos. Déterminer ω(t).
Exercice 3 — Patineur
Un patineur réduit son moment d’inertie de J₁ à J₂ sans moment extérieur significatif. Relier ω₁ et ω₂.
Exercice 4 — Roulement sur un plan incliné
Un cylindre homogène roule sans glisser depuis le repos sur un plan incliné. Déterminer sa vitesse après une descente de hauteur h.
Mission : volant d’inertie.
Situation
Un volant d’inertie de moment J tourne autour d’un axe fixe. Un moteur lui applique un couple C pendant une durée τ. Un couple résistant constant Cr s’oppose au mouvement.
Votre mission :
- choisir le solide et l’axe ;
- faire le bilan des moments ;
- écrire l’équation différentielle de rotation ;
- déterminer l’accélération angulaire ;
- déterminer ω(t) pendant la phase motrice ;
- calculer l’énergie cinétique stockée à t=τ ;
- couper ensuite le moteur et déterminer le temps d’arrêt sous l’effet du couple résistant ;
- calculer l’énergie dissipée ;
- interpréter l’intérêt industriel d’un grand moment d’inertie.
Les six réflexes du solide.
Diagnostic Mécanique du solide.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
La rotation possède sa propre dynamique.
Moment d’une force, moment cinétique, inertie, couple et énergie de rotation forment le langage essentiel pour comprendre roues, moteurs, turbines, volants, solides roulants et systèmes mécaniques complexes.