Dimensions, unités & ordres de grandeur CPGE
“`htmlMesurer.
Vérifier. Estimer.
Avant de résoudre un problème physique, il faut maîtriser les unités, les dimensions et les ordres de grandeur. L’analyse dimensionnelle permet de détecter immédiatement de nombreuses erreurs et d’anticiper la forme d’une relation physique.
Un nombre seul ne suffit jamais.
Valeur numérique
Une mesure possède une valeur numérique.
Unité
La valeur doit être accompagnée d’une unité.
Dimension
La dimension indique la nature physique de la grandeur.
Principe
L’unité dépend du système choisi, mais la dimension physique ne dépend pas du choix d’unités.
Les briques du système international.
Longueur
Unité SI : mètre (m)
Masse
Unité SI : kilogramme (kg)
Temps
Unité SI : seconde (s)
Intensité électrique
Unité SI : ampère (A)
Température
Unité SI : kelvin (K)
Quantité de matière
Unité SI : mole (mol)
Construire une dimension à partir des grandeurs fondamentales.
Vitesse
Accélération
Force
Énergie
Puissance
Pression
Le contrôle automatique d’une formule.
On ne peut additionner que des grandeurs de même dimension.
Une équation physique doit être homogène : les deux membres doivent avoir la même dimension.
Chaque terme doit avoir la dimension d’une longueur.
Retrouver la forme d’une loi.
On suppose que la période T d’un pendule dépend uniquement de sa longueur ℓ et de l’accélération de la pesanteur g :
où C est une constante sans dimension.
L’analyse des exposants de L et T permet d’identifier α et β, sans résoudre l’équation du mouvement.
Quand le résultat est un nombre pur.
Angle
Le radian est considéré comme sans dimension dans l’analyse dimensionnelle usuelle.
Indice de réfraction
Rapport de deux vitesses : sans dimension.
Coefficient de frottement
Souvent sans dimension.
Fonctions mathématiques
L’argument de exp, sin, cos, ln doit être sans dimension.
Passer rapidement d’une échelle à l’autre.
Giga
Méga
Kilo
Milli
Micro
Nano
Estimer avant de calculer précisément.
Principe
L’ordre de grandeur correspond à la puissance de dix permettant de situer une valeur.
Exemple
L’échelle caractéristique est de l’ordre du million de mètres.
Pourquoi ?
Un résultat de 10¹² m pour le rayon d’une voiture peut être rejeté sans refaire tout le calcul.
Réflexe concours
Toujours confronter un résultat numérique à une valeur physiquement plausible.
Résoudre sans disposer de toutes les données.
Exemple de mission
Estimer le nombre de battements cardiaques d’une personne pendant une année.
On peut prendre un ordre de grandeur raisonnable pour la fréquence cardiaque, puis estimer le nombre de minutes dans une année.
L’objectif n’est pas une précision parfaite, mais un résultat cohérent à l’échelle correcte.
Ne pas afficher une précision qui n’existe pas.
Mesure
La mesure n’est pas connue avec une précision infinie.
Chiffres significatifs
Le résultat final doit rester cohérent avec la précision des données.
Mauvais résultat
si les données n’ont que deux ou trois chiffres significatifs.
Réflexe
Calculer avec suffisamment de précision, puis arrondir seulement le résultat final.
Contrôler avant de résoudre.
Exercice 1 — Dimension d’une énergie
À partir de l’expression :
retrouver la dimension de l’énergie cinétique.
Exercice 2 — Homogénéité
Tester l’homogénéité de :
Exercice 3 — Constante gravitationnelle
La loi de Newton s’écrit :
Déterminer la dimension de G.
Exercice 4 — Temps caractéristique
On cherche un temps caractéristique τ construit à partir d’une masse m et d’un coefficient de frottement k sachant que :
Retrouver la dépendance de τ en m et k.
Mission : retrouver une loi par analyse dimensionnelle.
Chute d’une goutte
On suppose qu’une vitesse caractéristique v dépend :
- d’une longueur R ;
- d’une masse volumique ρ ;
- d’une accélération g.
On cherche une relation :
Votre mission :
- écrire les dimensions de v, R, ρ et g ;
- construire l’équation dimensionnelle ;
- identifier les équations sur α, β et γ ;
- vérifier si les données suffisent pour déterminer tous les exposants ;
- expliquer ce que révèle une éventuelle indétermination ;
- identifier quel autre paramètre physique pourrait manquer au modèle.
Avant de valider un résultat.
Diagnostic Dimensions & Unités.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
Une formule doit d’abord survivre au contrôle physique.
Dimensions, unités, homogénéité et ordres de grandeur constituent le premier filtre de tout raisonnement physique sérieux. Ce réflexe fera gagner du temps dans pratiquement tous les chapitres suivants.