Modéliser. Conditionner. Prévoir.
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Conditionner. Prévoir.
Les probabilités permettent de mesurer l’incertitude, raisonner avec des événements, mettre à jour une information grâce au conditionnement et modéliser des expériences aléatoires à l’aide de variables aléatoires.
Décrire une expérience aléatoire.
Univers Ω
Ω contient toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
Événement
Un événement A est un sous-ensemble de Ω.
Événement contraire
Événement impossible
et P(Ω)=1.
Combiner des événements.
Intersection
A et B se réalisent simultanément.
Union
Au moins l’un des deux événements se réalise.
Formule
Événements incompatibles
Alors P(A∪B)=P(A)+P(B).
Calculer sous une information nouvelle.
Si P(B)>0, la probabilité de A sachant B est :
Produit
Autre écriture
Six réflexes.
Quand une information ne change rien.
Définition
Conditionnement
Si P(B)>0 :
Attention
Indépendance et incompatibilité sont deux notions différentes.
Piège CPGE
Décomposer selon plusieurs scénarios.
Si B₁,…,Bₙ forment un système complet d’événements :
Remonter de l’effet vers la cause.
Bayes permet de réviser la probabilité d’une hypothèse après l’observation d’un événement.
Transformer les issues en valeurs numériques.
Définition
Une variable aléatoire X associe une valeur réelle à chaque issue de Ω.
Loi
La loi de X donne les probabilités des différentes valeurs possibles.
Variable discrète
Contrôle
La valeur moyenne théorique.
Définition
Linéarité
Somme
sans hypothèse d’indépendance.
Interprétation
Sur un très grand nombre d’expériences, la moyenne observée tend à se rapprocher de l’espérance dans les cadres usuels.
Mesurer la dispersion.
Variance
Formule de König-Huygens
Écart-type
Transformation affine
Succès ou échec.
Définition
X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si :
P(X=0)=1-p
Espérance
Variance
Interprétation
1 représente généralement un succès, 0 un échec.
Compter les succès dans des répétitions indépendantes.
Si X compte le nombre de succès obtenus au cours de n épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre p :
Espérance
Variance
Du conditionnement aux variables aléatoires.
Exercice 1 — Complémentaire
Une expérience donne P(A)=0,72. Calculer P(Ā).
Exercice 2 — Conditionnement
On connaît :
P(B)=0,30
Déterminer P(A|B).
Exercice 3 — Indépendance
On donne P(A)=0,4, P(B)=0,5 et P(A∩B)=0,2. Étudier l’indépendance de A et B.
Exercice 4 — Binomiale
Une pièce donne pile avec probabilité 0,6. On effectue 10 lancers indépendants. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 7 piles.
Mission : diagnostic médical probabiliste.
Mission CPGE — Bayes
Dans une population, une maladie touche 2% des individus. Un test est positif chez 95% des personnes malades et chez 4% des personnes non malades.
Votre mission :
- définir les événements M et T ;
- écrire P(M), P(T|M) et P(T|M̄) ;
- construire un arbre de probabilités ;
- calculer P(T) ;
- calculer P(M|T) par Bayes ;
- interpréter correctement le résultat ;
- expliquer pourquoi un test très sensible peut néanmoins produire des faux positifs significatifs dans une population où la maladie est rare.
Traduire avant de calculer.
Une grande partie des erreurs en probabilités vient d’une mauvaise définition des événements ou d’une confusion entre P(A|B) et P(B|A).
Diagnostic Probabilités CPGE.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
En probabilités, l’information change le calcul.
Conditionnement, indépendance, Bayes, espérance et variance constituent la boîte à outils fondamentale pour modéliser l’incertitude et résoudre les problèmes probabilistes de niveau CPGE.