MAROC ZAIN ACADEMY Learn • Train • Succeed

Mesuer. Projeter. Orthogonaliser.

“`html
COURS 15 • ESPACES EUCLIDIENS

Mesurer.
Projeter. Orthogonaliser.

Les espaces euclidiens ajoutent à l’algèbre linéaire une notion de longueur, d’angle et d’orthogonalité. Ils permettent de construire des bases orthonormales, déterminer des projections, calculer des distances et simplifier profondément de nombreux problèmes de géométrie et d’algèbre.

📚 COMMENCER 🧠 MÉTHODE 🧩 EXERCICES ❓ QCM
1. PRODUIT SCALAIRE

Mesurer l’angle entre deux vecteurs.

Dans ℝⁿ

⟨x,y⟩ = x₁y₁ + … + xₙyₙ

Symétrie

⟨x,y⟩ = ⟨y,x⟩

Linéarité

⟨λx+μy,z⟩ = λ⟨x,z⟩+μ⟨y,z⟩

Positivité

⟨x,x⟩ ≥ 0

avec égalité si et seulement si x=0.

2. NORME

Mesurer la longueur.

Définition

||x|| = √⟨x,x⟩

Homogénéité

||λx|| = |λ| ||x||

Inégalité triangulaire

||x+y|| ≤ ||x||+||y||

Distance

d(x,y)=||x-y||
3. CAUCHY-SCHWARZ

L’inégalité fondamentale.

|⟨x,y⟩| ≤ ||x|| ||y||

Cette inégalité permet notamment de définir l’angle entre deux vecteurs.

cos(θ)=⟨x,y⟩ / (||x|| ||y||)
L’égalité dans Cauchy-Schwarz apparaît lorsque les vecteurs sont colinéaires.
4. ORTHOGONALITÉ

Quand le produit scalaire s’annule.

Vecteurs orthogonaux

x ⟂ y ⇔ ⟨x,y⟩=0

Pythagore

Si x ⟂ y :

||x+y||²=||x||²+||y||²

Famille orthogonale

Les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.

Conséquence

famille orthogonale de vecteurs non nuls ⇒ famille libre
MZA EUCLIDEAN ENGINE

Six réflexes.

01PRODUIT SCALAIRE
02NORMES
03ORTHOGONALITÉ
04PROJECTION
05DISTANCE
06BASE ORTHONORMALE
5. BASES ORTHONORMALES

Le repère idéal.

Orthonormale

Une famille (e₁,…,eₙ) est orthonormale si :

⟨eᵢ,eⱼ⟩=0 si i≠j
||eᵢ||=1

Coordonnées

Dans une base orthonormale :

x = Σ ⟨x,eᵢ⟩ eᵢ

Norme

||x||² = Σ ⟨x,eᵢ⟩²

Pourquoi c’est puissant ?

Les coordonnées s’obtiennent directement par produit scalaire.

6. GRAM-SCHMIDT

Transformer une base en base orthonormale.

À partir d’une famille libre (v₁,…,vₙ), on construit une famille orthogonale puis orthonormale.

u₁ = v₁
u₂ = v₂ – proju₁(v₂)
u₃ = v₃ – proju₁(v₃) – proju₂(v₃)

Puis :

eᵢ = uᵢ / ||uᵢ||
Toujours orthogonaliser avant de normaliser.
7. PROJECTION ORTHOGONALE SUR UNE DROITE

Extraire la composante dans une direction.

Direction unitaire e

proje(x)=⟨x,e⟩e

Direction u non unitaire

proju(x) = ⟨x,u⟩ / ⟨u,u⟩ · u

Décomposition

x = projF(x) + z

avec z∈F⊥.

Caractérisation

x-projF(x) ⟂ F
8. ORTHOGONAL D’UN SOUS-ESPACE

Les directions perpendiculaires à tout F.

Pour un sous-espace F de E :

F⊥ = {x∈E | ∀y∈F, ⟨x,y⟩=0}

Dimension finie

E = F ⊕ F⊥

Dimensions

dim(F)+dim(F⊥)=dim(E)
9. DISTANCE À UN SOUS-ESPACE

Le point le plus proche.

Si pF(x) est le projeté orthogonal de x sur F :

d(x,F)=||x-pF(x)||

Le projeté orthogonal est le point de F le plus proche de x.

10. EXERCICES PROGRESSIFS

Du produit scalaire à la projection.

NIVEAU 1

Exercice 1 — Orthogonalité

Dans ℝ³, déterminer si :

u=(1,1,0)
v=(1,-1,2)

sont orthogonaux.

Calculez simplement le produit scalaire u·v.
NIVEAU 2

Exercice 2 — Normalisation

Normaliser :

u=(3,4)
Commencez par calculer ||u||, puis divisez le vecteur par sa norme.
NIVEAU 3

Exercice 3 — Projection

Projeter x=(2,3) sur la droite engendrée par :

u=(1,1)
Utilisez proj_u(x)=⟨x,u⟩/⟨u,u⟩ × u.
NIVEAU PRÉPA

Exercice 4 — Orthogonal

Dans ℝ³, déterminer F⊥ pour :

F=Vect((1,1,0),(0,1,1))
Cherchez x=(a,b,c) orthogonal aux deux vecteurs générateurs de F.
11. PROBLEM LAB

Mission : Gram-Schmidt complet.

Mission CPGE

Dans ℝ³ muni du produit scalaire canonique, on considère :

v₁=(1,1,0)
v₂=(1,0,1)
v₃=(0,1,1)

Votre mission :

  1. vérifier que la famille est libre ;
  2. poser u₁=v₁ ;
  3. construire u₂ orthogonal à u₁ ;
  4. construire u₃ orthogonal à u₁ et u₂ ;
  5. normaliser les trois vecteurs ;
  6. obtenir une base orthonormale ;
  7. exprimer un vecteur x=(2,1,3) dans cette nouvelle base ;
  8. vérifier la norme par les coordonnées obtenues.
Pour construire u₂, retranchez à v₂ sa projection sur u₁.
Pour u₃, retirez successivement les projections de v₃ sur u₁ puis u₂. Normalisez uniquement à la fin.
MZA ORTHOGONAL LAB

Orthogonaliser pour simplifier.

Une base orthonormale transforme de nombreux calculs en simples produits scalaires.

APRODUIT
BORTHOGONAL ?
CPROJETER
DSOUSTRAIRE
ENORMALISER
FCONTRÔLER
12. QCM DE VALIDATION

Diagnostic Espaces euclidiens.

Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.

1. Deux vecteurs x et y sont orthogonaux si :
2. La norme associée au produit scalaire est :
3. Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est :
4. Une base orthonormale est :
5. Pour projeter x sur une direction u non nulle :
6. En dimension finie :
x = pF(x) + z

Orthogonaliser, c’est rendre la géométrie calculable.

Avec un produit scalaire et une base orthonormale, les angles, les distances, les projections et les coordonnées se ramènent à des calculs structurés et rapides.

📚 REVOIR LE COURS 🧩 EXERCICES ❓ REFAIRE LE QCM
“`