Repérer. Réduire. Simplifier.
“`htmlRepérer.
Réduire. Simplifier.
La réduction consiste à choisir une base dans laquelle un endomorphisme devient plus simple à représenter. Les notions de valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres et diagonalisation permettent notamment de calculer efficacement les puissances d’une matrice.
Une direction qui reste dans sa propre ligne.
Définition
Soit f un endomorphisme de E. Un scalaire λ est une valeur propre s’il existe un vecteur x non nul tel que :
Vecteur propre
Tout vecteur non nul x vérifiant cette relation est appelé vecteur propre associé à λ.
Interprétation
La direction portée par x est conservée par f. Seul le facteur multiplicatif λ intervient.
Cas particulier
signifie qu’il existe un vecteur propre non nul appartenant au noyau.
Regrouper tous les vecteurs propres associés à λ.
L’espace propre associé à λ est :
Il contient le vecteur nul ainsi que tous les vecteurs propres associés à λ.
Sous-espace vectoriel
Eλ est un sous-espace vectoriel de E.
Dimension
Sa dimension joue un rôle central dans la diagonalisation.
Trouver les valeurs propres.
Matrice A
Pour une matrice carrée A, les valeurs propres sont les scalaires λ tels que :
Polynôme caractéristique
Selon les conventions, on peut aussi rencontrer det(λI-A).
Valeurs propres
Ce sont les racines du polynôme caractéristique.
Réflexe CPGE
Six étapes à automatiser.
Trouver une base de vecteurs propres.
Principe
Un endomorphisme est diagonalisable s’il existe une base constituée de vecteurs propres.
Matrice diagonale
Dans une telle base :
Relation matricielle
ou équivalemment :
Matrice P
Ses colonnes sont des vecteurs propres formant une base.
Quand peut-on conclure rapidement ?
n valeurs propres distinctes
Dans un espace de dimension n :
Somme des dimensions
L’endomorphisme est diagonalisable si la somme des dimensions de ses espaces propres vaut n.
Multiplicité
La dimension d’un espace propre est inférieure ou égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre correspondante.
Attention
Le grand intérêt pratique de la diagonalisation.
Si :
alors :
Or D étant diagonale :
Quand la diagonale parfaite n’est pas accessible.
Principe
Un endomorphisme est trigonalisable s’il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire.
Forme
Valeurs propres
Les coefficients diagonaux d’une matrice triangulaire sont ses valeurs propres, avec multiplicité.
Intérêt
Même sans diagonalisation, une forme triangulaire simplifie fortement les calculs.
Lire les valeurs propres sans tout recalculer.
Trace
Pour une matrice carrée A :
Valeurs propres
Lorsque le polynôme caractéristique est scindé :
Déterminant
Vérification
Du calcul spectral à la diagonalisation.
Exercice 1 — Valeurs propres
Soit :
Déterminer ses valeurs propres.
Exercice 2 — Polynôme caractéristique
Pour :
calculer le polynôme caractéristique.
Exercice 3 — Espace propre
Pour :
déterminer l’espace propre associé à λ=2.
Exercice 4 — Diagonalisabilité
Étudier la diagonalisabilité de :
Mission : diagonaliser puis calculer Aⁿ.
Mission CPGE
On considère :
Votre mission :
- calculer le polynôme caractéristique ;
- déterminer les valeurs propres ;
- déterminer les espaces propres ;
- trouver une base de vecteurs propres ;
- construire une matrice P adaptée ;
- obtenir une matrice diagonale D ;
- exprimer Aⁿ à l’aide de P, D et P⁻¹ ;
- étudier le comportement de Aⁿ lorsque n devient grand.
Réduire avant de calculer.
La réduction transforme un problème matriciel complexe en une lecture de quelques valeurs propres et directions privilégiées.
Diagnostic Réduction CPGE.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
La bonne base transforme la complexité en structure.
Les valeurs propres identifient les directions privilégiées d’un endomorphisme. Lorsque ces directions forment une base, la matrice devient diagonale et les calculs de puissances, de suites et d’évolutions deviennent beaucoup plus simples.