MAROC ZAIN ACADEMY Learn • Train • Succeed

Représenter. Calculer . Transformer.

“`html id=”mza-matrices-12″
COURS 12 • MATRICES

Représenter.
Calculer. Transformer.

Les matrices permettent de représenter les applications linéaires, résoudre des systèmes, composer des transformations et préparer l’étude des déterminants, valeurs propres et diagonalisation.

📚 COMMENCER 🧠 MÉTHODE 🧩 EXERCICES ❓ QCM
1. DÉFINITION

Un tableau organisé de nombres.

Matrice

Une matrice A à n lignes et p colonnes appartient à :

Mn,p(K)

Coefficient

Le coefficient situé à la ligne i et colonne j est noté :

aij

Matrice carrée

A ∈ Mn(K)

lorsque le nombre de lignes égale le nombre de colonnes.

Matrice identité

In

Elle joue le rôle d’élément neutre pour le produit matriciel.

2. OPÉRATIONS

Addition, multiplication scalaire et produit.

Addition

(A+B)ij=aij+bij

Multiplication par un scalaire

(λA)ij=λaij

Produit matriciel

Si A∈Mn,p et B∈Mp,q, alors :

AB ∈ Mn,q

Coefficient du produit

(AB)ij = Σ aikbkj
On effectue un produit « ligne × colonne ».
3. PRODUIT MATRICIEL

Attention : l’ordre compte.

Associativité

(AB)C = A(BC)

Distributivité

A(B+C)=AB+AC

Non-commutativité

AB ≠ BA

en général.

Identité

AI = IA = A
MZA MATRIX ENGINE

Six réflexes de calcul.

01DIMENSIONS
02COMPATIBILITÉ
03LIGNE × COLONNE
04SIMPLIFIER
05STRUCTURE
06VÉRIFIER
4. MATRICE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE

Encoder une transformation.

Principe

Soit f:E→F linéaire et B=(e₁,…,eₙ) une base de E.

Les colonnes de la matrice de f sont les coordonnées des images :

f(e₁),…,f(eₙ)

Relation fondamentale

[f(x)] = A[x]

dans les bases choisies.

Composition

La composition de deux applications linéaires correspond au produit de leurs matrices.

Mat(g∘f)=Mat(g)Mat(f)

Importance

Le produit matriciel n’est donc pas une convention arbitraire : il reproduit la composition des transformations linéaires.
5. MATRICES INVERSIBLES

Revenir en arrière.

Définition

Une matrice carrée A est inversible s’il existe B telle que :

AB=BA=I

Notation

B=A⁻¹

Unicité

Lorsqu’elle existe, l’inverse d’une matrice est unique.

Produit

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

si A et B sont inversibles.

6. SYSTÈMES LINÉAIRES

Passer des équations à une écriture compacte.

Un système linéaire peut s’écrire :

AX = B

où A est la matrice des coefficients, X le vecteur des inconnues et B le second membre.

Si A est inversible

X=A⁻¹B

Attention

L’inversion n’est pas toujours la méthode la plus efficace. Le pivot de Gauss reste fondamental.

7. PIVOT DE GAUSS

Résoudre et simplifier.

Opérations élémentaires

  • échanger deux lignes ;
  • multiplier une ligne par un scalaire non nul ;
  • ajouter à une ligne un multiple d’une autre.

Objectif

Transformer le système en une forme triangulaire ou échelonnée plus simple.

Utilisations

  • résolution de systèmes ;
  • calcul du rang ;
  • recherche d’inverse ;
  • étude de familles de vecteurs.

Réflexe concours

Avant de calculer une inverse complète, demandez-vous si quelques opérations élémentaires suffisent à résoudre le problème.
8. MATRICES PARTICULIÈRES

Reconnaître la structure.

Diagonale

D = diag(λ₁,…,λₙ)

Les calculs de puissances deviennent immédiats.

Triangulaire

Tous les coefficients sous ou au-dessus de la diagonale principale sont nuls.

Symétrique

Aᵀ=A

Nilpotente

Aᵖ=0

pour un certain entier p≥1.

9. CHANGEMENT DE BASE

Une même application, plusieurs matrices.

Matrice de passage

Elle permet de passer des coordonnées dans une base B à celles dans une base B’.

Relation-type

A’ = P⁻¹AP

pour un endomorphisme représenté dans deux bases.

Pourquoi ?

Certaines bases rendent la matrice beaucoup plus simple.

Préparation

Cette relation sera essentielle pour la diagonalisation et la réduction des endomorphismes.
10. EXERCICES PROGRESSIFS

Calculer sans perdre la structure.

NIVEAU 1

Exercice 1 — Produit

Calculer AB avec :

A = [[1,2],[0,1]]
B = [[2,0],[3,1]]
Calculez chaque coefficient par produit d’une ligne de A avec une colonne de B.
NIVEAU 2

Exercice 2 — Non-commutativité

Pour les mêmes matrices, calculer BA puis comparer AB et BA.

Le produit matriciel dépend fortement de l’ordre des facteurs.
NIVEAU 3

Exercice 3 — Inverse

Étudier l’inversibilité de :

A = [[1,1],[1,2]]

puis rechercher son inverse.

Vous pouvez chercher directement une matrice B telle que AB=I ou utiliser une méthode d’élimination.
NIVEAU PRÉPA

Exercice 4 — Puissances

Soit :

A = [[1,1],[0,1]]

Calculer A², A³ puis conjecturer une formule pour Aⁿ.

Observez précisément le coefficient situé au-dessus de la diagonale.
11. PROBLEM LAB

Mission : matrice d’un endomorphisme.

Mission CPGE

On considère f:ℝ³→ℝ³ défini par :

f(x,y,z)=(x+y, y+z, z)

Dans la base canonique, votre mission est de :

  1. calculer f(e₁), f(e₂), f(e₃) ;
  2. construire la matrice A de f ;
  3. calculer A² ;
  4. étudier la structure de A ;
  5. déterminer si A est inversible ;
  6. relier cette question à l’injectivité de f ;
  7. préparer une éventuelle étude des puissances Aⁿ.
Les images des vecteurs de la base canonique deviennent les colonnes de la matrice.
Une fois la matrice construite, observez sa forme avant tout calcul lourd : triangulaire, diagonale, proche de l’identité ou autre structure remarquable.
MZA MATRIX LAB

Lire avant de multiplier.

Une bonne lecture de la matrice permet souvent d’éviter plusieurs pages de calcul.

ATAILLE
BSTRUCTURE
CRANG
DINVERSE ?
EBASE ADAPTÉE
FPUISSANCES
12. QCM DE VALIDATION

Diagnostic Matrices CPGE.

Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.

1. Pour que le produit AB existe, il faut :
2. En général :
3. Une matrice A est inversible si :
4. Si AX=B et A est inversible :
5. La matrice d’une composition g∘f est obtenue par :
6. Un changement de base peut :
[A]

Une matrice est une transformation rendue calculable.

Le bon niveau CPGE consiste à savoir lire sa taille, sa structure, son rang, son éventuelle inversibilité et la transformation linéaire qu’elle représente avant de lancer des calculs.

📚 REVOIR LE COURS 🧩 EXERCICES ❓ REFAIRE LE QCM
“`