Fonctions. Limites & Dérivation
“`htmlCOURS 05 • ANALYSE
Fonctions.
Limites & Dérivation.
Étudier une fonction ne consiste pas seulement à calculer une dérivée. Il faut comprendre son domaine, son comportement local et global, ses limites, sa continuité, ses variations et sa convexité.
Avant tout calcul : où la fonction existe-t-elle ?
Fonction réelle
x ↦ f(x)
D est le domaine de définition de la fonction.
Réflexes
Avant de dériver ou chercher une limite, vérifier :
- les dénominateurs ;
- les racines carrées ;
- les logarithmes ;
- les compositions de fonctions.
Exemple rationnel
La fonction n’est pas définie en x = 2.
Exemple logarithmique
Il faut imposer :
donc D = ]3,+∞[.
Décrire le comportement d’une fonction.
Limite finie
x → a
Cela signifie que f(x) devient arbitrairement proche de L lorsque x se rapproche de a.
Limite infinie
x → a
Les valeurs de f(x) deviennent arbitrairement grandes au voisinage considéré.
Limite à l’infini
x → +∞
Elle décrit le comportement global de la fonction lorsque x devient très grand.
Formes indéterminées
Les formes classiques comprennent notamment :
0 / 0
∞ / ∞
0 × ∞
Transformer un calcul difficile en comportement simple.
Équivalence
Au voisinage d’un point :
signifie que :
Équivalents classiques
Lorsque x → 0 :
tan x ~ x
ln(1+x) ~ x
eˣ – 1 ~ x
Attention aux sommes
Les équivalents se manipulent très bien dans les produits et quotients, mais pas mécaniquement dans une somme ou une différence.
Théorème des gendarmes
Si g et h tendent vers la même limite L, alors f tend également vers L.
La méthode d’étude complète.
Six réflexes avant de tracer ou conclure.
Pas de rupture au voisinage du point.
Continuité en a
f est continue en a lorsque :
x → a
Continuité sur un intervalle
Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en chacun de ses points.
Valeurs intermédiaires
Une fonction continue sur un intervalle prend toutes les valeurs comprises entre les valeurs obtenues aux extrémités considérées.
Existence + unicité
Pour prouver qu’une équation f(x)=0 possède exactement une solution, on combine souvent :
Mesurer la variation instantanée.
Nombre dérivé
h → 0
Lorsqu’elle existe, cette limite donne la pente de la tangente au graphe en a.
Tangente
Produit
Quotient
lorsque v ne s’annule pas.
Composition
Variation
Comprendre la courbure.
Fonction convexe
Lorsque f est deux fois dérivable, une condition pratique est :
sur l’intervalle considéré.
Fonction concave
Point d’inflexion
Il correspond à un changement de convexité.
Tangentes & convexité
Une fonction convexe est située au-dessus de ses tangentes.
Cette propriété permet d’obtenir de nombreuses inégalités.
Décrire le comportement géométrique à grande échelle.
Asymptote verticale
x → a
La droite x = a peut alors être une asymptote verticale.
Asymptote horizontale
x → ±∞
La droite y = L est une asymptote horizontale.
Asymptote oblique
On cherche a et b tels que :
lorsque x tend vers l’infini considéré.
Position relative
Après avoir trouvé une asymptote y=ax+b, étudier :
pour déterminer la position de la courbe.
Passer du calcul à l’analyse.
Exercice 1 — Domaine
Déterminer le domaine de :
Exercice 2 — Limite
Étudier :
x → 0
Exercice 3 — Existence et unicité
Étudier le nombre de solutions de :
sur ℝ.
Exercice 4 — Convexité
Étudier la convexité de :
puis exploiter la tangente en 0 pour obtenir une inégalité valable pour tout réel x.
Mission : une équation sans formule explicite.
Mission CPGE
On considère :
sur son domaine de définition.
Votre mission :
- déterminer le domaine ;
- étudier les limites aux bornes ;
- étudier les variations ;
- montrer que l’équation f(x)=0 possède une unique solution α ;
- localiser α dans un intervalle de longueur 0,1.
Diagnostic Analyse CPGE.
Le score est affiché sans révéler les réponses correctes.
Analyser avant de calculer.
Une étude de fonction réussie doit raconter une histoire complète : où la fonction existe, ce qu’elle fait aux frontières, comment elle varie, comment elle se courbe et quelles conclusions rigoureuses on peut en tirer.