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COURS 02 • ENSEMBLES & APPLICATIONS

Organiser.
Relier. Démontrer.

Les ensembles et les applications structurent une grande partie des mathématiques. Ce cours introduit les opérations sur les ensembles, les images, les antécédents, les fonctions, puis les notions fondamentales d’injection, surjection et bijection.

📚 COMMENCER LE COURS 🧩 EXERCICES ❓ QCM
1. ENSEMBLES

Décrire les objets avant de travailler dessus.

Un ensemble regroupe des objets appelés éléments. La maîtrise des inclusions et opérations ensemblistes est indispensable pour la suite.

Appartenance

x ∈ A

Cela signifie que x appartient à l’ensemble A.

x ∉ A

Cela signifie que x n’appartient pas à A.

Inclusion

A ⊂ B

Tous les éléments de A appartiennent à B.

Pour montrer A = B, une méthode classique consiste à établir A ⊂ B puis B ⊂ A.

Union

A ∪ B

Ensemble des éléments appartenant à A ou à B.

Intersection

A ∩ B

Ensemble des éléments appartenant simultanément à A et à B.

Différence

A \ B

Ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B.

Complémentaire

Aᶜ

Dans un univers fixé E, Aᶜ désigne les éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

2. PRODUIT CARTÉSIEN

Construire des couples et des coordonnées.

Définition

A × B = {(a,b) | a ∈ A et b ∈ B}

Le produit cartésien sert notamment à décrire des couples, des coordonnées, des relations et des fonctions de plusieurs variables.

Exemple

Si :

A = {1,2}
B = {a,b}

Alors :

A × B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
3. APPLICATIONS

Associer chaque élément à une image.

Application

f : E → F

À chaque élément x de E, l’application f associe un unique élément f(x) de F.

E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.

Image

y = f(x)

y est l’image de x par f.

Antécédent

Si y = f(x), alors x est un antécédent de y.

Un élément de F peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Restriction

On peut restreindre une application à une partie de son ensemble de départ.

f|A
4. LES 3 NOTIONS ESSENTIELLES

Injection. Surjection. Bijection.

Trois propriétés fondamentales qui reviennent partout en algèbre, analyse et probabilités.

01 IDENTIFIER E ET F
02 ÉCRIRE f(x)
03 TESTER INJECTION
04 TESTER SURJECTION
05 CONCLURE BIJECTION

Injection

Une application est injective lorsque deux éléments distincts ne peuvent pas avoir la même image.

f(x₁)=f(x₂) ⇒ x₁=x₂
Méthode classique : partir de f(x₁)=f(x₂) et montrer x₁=x₂.

Surjection

Une application est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.

∀y ∈ F, ∃x ∈ E tel que f(x)=y

Bijection

Une application est bijective lorsqu’elle est à la fois injective et surjective.

Chaque y ∈ F possède exactement un antécédent.

Application réciproque

Lorsqu’une application f est bijective, elle possède une application réciproque.

f⁻¹ : F → E

avec :

f⁻¹(f(x)) = x
5. IMAGE DIRECTE & IMAGE RÉCIPROQUE

Suivre les ensembles à travers une fonction.

Image directe

Pour A ⊂ E :

f(A) = {f(x) | x ∈ A}

Image réciproque

Pour B ⊂ F :

f⁻¹(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B}
Cette notation existe même si f n’est pas bijective lorsqu’elle désigne l’image réciproque d’un ensemble.
6. EXERCICES PROGRESSIFS

Passer du vocabulaire à la démonstration.

NIVEAU 1

Exercice 1 — Ensembles

Soient :

A = {1,2,3,4}
B = {3,4,5,6}

Déterminer A ∩ B, A ∪ B et A \ B.

Commencez par repérer les éléments communs aux deux ensembles.
NIVEAU 2

Exercice 2 — Injection

Étudier l’injectivité de :

f : ℝ → ℝ
f(x)=2x+3
Supposez f(x₁)=f(x₂), puis simplifiez.
NIVEAU 3

Exercice 3 — Surjection

Étudier la surjectivité de :

f : ℝ → ℝ
f(x)=x²
Demandez-vous si tout réel peut être obtenu comme carré d’un réel.
NIVEAU PRÉPA

Exercice 4 — Bijection

Soit :

f : ℝ → ]0,+∞[
f(x)=eˣ

Montrer que f est bijective et déterminer f⁻¹.

Séparez l’étude en deux étapes : injectivité puis surjectivité. La fonction logarithme naturel intervient pour l’application réciproque.
7. PROBLEM LAB

Mission : choisir le bon ensemble d’arrivée.

Mission

On considère :

f(x)=x²

Cette fonction n’est pas bijective de ℝ vers ℝ. Votre mission consiste à modifier intelligemment l’ensemble de départ et/ou l’ensemble d’arrivée pour obtenir une bijection.

La difficulté vient du fait que x et -x ont la même image, et que les nombres négatifs ne sont jamais obtenus.
Cherchez un intervalle sur lequel x ↦ x² devient monotone, puis choisissez comme ensemble d’arrivée l’ensemble exact des valeurs atteintes.
8. QCM DE VALIDATION

Testez votre maîtrise.

Le score apparaît sans révéler la correction détaillée.

1. Pour montrer A = B, une méthode standard est :
2. Une application injective vérifie :
3. Une application est surjective lorsque :
4. Une bijection est :
5. Une application bijective possède :
🔗

Comprendre comment les objets se correspondent.

Les notions d’ensemble, d’application, d’injection et de bijection sont des fondations indispensables pour l’algèbre linéaire, l’analyse, les probabilités et la suite du parcours CPGE.

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